Цель
Разработка и развитие аналитико-численного описания нелинейных процессов различной природы и развитие математической теории сложности в применении к таким системам.
Задачи
Развитие согласованного метода описания сильно нелинейных систем
Основная задача лаборатории – развитие согласованного метода описания сильно нелинейных систем, сочетающего аналитические решения и численное моделирование, а также развитие и применение теории сложности, как вычислительной, структурной так и динамической. Необходимость формирования такого единого подхода связана с тем, что объекты исследований в научно-практической деятельности исследователей 21 века становятся качественно иными. Если, до сих пор, при описании тех или иных явлений в физике, химии, биологии или экономике можно было ограничиться линейным приближением и учесть нелинейность с помощью той или иной редакции теории возмущений, то на современном этапе это становится неверным: центральную роль начинают играть принципиально нелинейные (непертурбативные) эффекты. Еще более важную роль начинает играть сложность – как строгое математическое понятие, допускающее количественную оценку.
Это верно не только для исследуемых естественных систем, но и для социальных изменений. Как отмечают специалисты, сегодня мы живем в реальности, постоянно ускоряющейся цифровой трансформации, так что часто кажется, что технологические инновации и культура, которую они создают, опережают нашу способность понимать, измерять и реагировать на экспоненциально возрастающие изменения, которые приводят и к экспоненциально растущей сложности интегрированных экосистем, лежащих в основе современной цивилизации. Для управления такими процессами, необходимо значительно более развитое понимание математической теории сложности – с одной стороны, и нелинейных эффектов, включающих хаотическую динамику – с другой.
Соответственно тематика исследований в лаборатории весьма широка: от теории интегрируемых иерархий, нелинейных интегрируемых моделей (многомерных и дискретных), до развития методики вычисления сложности для динамических систем, применению теории (квантовой) вычислительной сложности в геометрии и теории гравитации (это новая парадигма возникающая в теории струн, прямо на глазах) и применения этих методов в биоинформатике, в частности при изучении репликации мтДНК.
Разработка и проведение образовательных курсов
Перед лабораторией стоит задача разработки и проведения образовательных курсов по современным математическим методам анализа сложных и нелинейных систем для студентов, с применением программных пакетов MAPLE, Mathematica, а также методов машинного обучения, сформированных на высокоуровненвых языках типа Phyton.
Основные научные направления
| 1 | Погружение солитонных уравнений в общую постановку задач математической физики. Метод одевания. Теория преобразований Дарбу-Бэклунда. Теория солитонов. Бинарные преобразования Дарбу. Суперсимметричная связь интегрируемых иерархий. Пары Лакса и конформная теория поля. Алгебры Каца-Муди. |
| 2 | Одевающие цепочки дискретных симметрий. Размножения интегрируемых иерархий и развитие унифицирующего подхода к интегрируемым моделям. Свойство Пенлеве и уравнения Пенлеве. Многополевые обобщенные НУШ и уравнения Пенлеве ассоциированные с йордановыми алгебрами. |
| 3 | Многомерные интегрируемые модели. Преобразования Дарбу, Мутара, Лапласа и их связь. Иерархии Дэви-Стюартсона, Кадомцева-Петвиашвили, Бойти-Леона- Пемпинелли и т.д. Поиски (1+d) интегрируемых моделей. |
| 4 | Многомерные волны-убийцы (обобщенные солитоны Перегрина), в том числе для уравнения Ландау-Лившица-Гильберта и нелинейного уравнения Клейна-Гордона. |
| 5 | Дискретные интегрируемые системы. LA-пары и преобразования Дарбу для разностных нелинейных уравнений. Метод дискретизации Шабата. Дискретные уравнения Пенлеве. Интегрируемые клеточные автоматы. |
| 6 | Аксиомы системной сложности. Теорема Крона-Роудза. Теорема Крейна и ее приложения. Измерение динамической и структурной сложности. Исследование связи сложности и упорядоченности, определенной через S-теорему. |
| 7 | Квантовая теория информации и теория вычислительной сложности в гравитации и теории черных дыр. |
| 8 | Применение методов теории дифференциальных уравнений с целью моделирования усреднённой динамики нуклеотидных мутаций, во всех 12 возможных направлениях, локализованных на одной-единственной цепи. Сведение уравнений для средних значений A, G, T и С нуклеотидов в мтДНК к единственному неоднородному дифференциальному уравнению третьего порядка и изучение точных аналитических решений этого уравнения. |
Сотрудники
Контакты
Телефон
+7 (4012) 59-55-95 #4000Личный кабинет для
Личный кабинет для cтудента
Даю согласие на обработку представленных персональных данных, с Политикой обработки персональных данных ознакомлен
Подтверждаю согласие
